그래프 이론 : 크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘

---

 

PRE.

신장 트리 : 하나의 그래프가 있을 때, 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

 

크루스칼 알고리즘 개념

: 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾을 때 사용하는 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘

: N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우

- 그리디 알고리즘, 서로소 판별 알고리즘(사이클)

- 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선 개수 = 노드 개수 - 1

- 항상 최적의 해

- 시간 복잡도 : O(ElogE) (E : 간선 개수) // 간선 정렬 작업. 서로소집합 알고리즘은 정렬 알고리즘 보다 시간복잡도 작음.

 

- 과정

1) 모든 간선에 대하여 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.

2) 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

    2-1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.

    2-2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

3) 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

 

- 코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블

# 모든 간선을 담을 리스트
edges = []
# 최종 비용
result = 0

# 부모 테이블상에서,. 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보 입력
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬. 튜플의 첫 번째 원소 = 비용
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

'''
입력 :
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

출력 :
159
'''